Sannolikheten att DU avgör valet 2010

Sannolikheten att en väljares röst avgör valet i ett samhälle med N väljare (N=7 miljoner i 2010 års riksdagsval) kan faktiskt beräknas med hjälp av en förenklad matematisk formel (Chamberlain & Rothschild 1981). p är sannolikheten att en given väljare röstar på alternativ 1 i ett val med två huvudalternativ. Om p sätts till 0.5 motsvarar det ett mycket jämnt val mellan två alternativ.


Jag har inte lyckats få en dator att genomföra beräkningarna eftersom det handlar om ohyggligt stora tal (om det finns en snäll matematiker därute får ni gärna hjälpa till!), men i Chamberlain & Rothschild (1981) förekommer också en förenklad formel som ger ett närmevärde som duger som riktmärke när man traskar till valbåset söndagen den 19 september 2010.

Vid ett helt jämnt val (50-50 mellan Alliansen och oppositionen) ger beräkningarna en överraskande hög sannolikhet att den egna rösten blir den avgörande (p=.0002131). Det betyder att det skulle finnas ungefär en chans på 5000 att just du lägger den avgörande rösten i ett jämnt riksdagsval. Jämfört med att pricka in Svenska spels Drömchansen (1 chans på 336 227 681) framstår det nästan som en löjligt hög sannolikhet, eller hur?

Men det är klart. Så fort man frångår antagandet om ett jämnt val och tillskriver något av alternativen en röstningssannolikhet något högre än .5 blir historien en helt annan. Då minskar sannolikheten att lägga en avgörande röst mycket snabbt till ett obegripligt litet tal (lägg till en sisådär 35 nollor efter decimaltecknet)

Referenser
Chamberlain, Gary & Michael Rothschild. 1981. "A note on the Probability of Casting a Decisive Vote." Journal of Economic Theory 25: 152-162.

Kommentarer

Viktor sa…
En uträkning av den fulla formeln medelst magma ger svaret ungefär ~0.00021324361862 så det stämmer överens iaf tre värdesiffror med det approximativa svaret.

(Q := 2^(2*N) * p^N * (1-p)^N / ((pi*N)^(1/2));)
Håkan Eriksson sa…
Tycker alltid det är en riktig tankevurpa att få för sig att en alls röst kan inte avgöra ett val. Även om ett val avgörs med en enda rösts övervikt så är det ju omöjligt att säga att en person avgjorde - per defintion måste ju flera röster personer rösta på ett alternativ för att det ska vinna. Enda sättet för en enda person att helt avgöra ett val på egen hand genom sin röst vore att sätta antalet röstberättigande till 1. Hej despoti.
Håkan Eriksson sa…
Ursäkta ordföljdsförbistringen denna sena timma. Det framgår nog vad jag menar dock.
Anonym sa…
Vilka är antagandena bakom formeln?
@Viktor: Tack för snabb och härlig respons. Eftersom du har matat in formeln får du gärna förse oss med en liten tabell där (n) och (p) varieras så att vi får en bättre känsla för dynamiken. Om du hinner, vill och kan. Annars får jag se mig om efter "magma". TACK igen!
Viktor sa…
Det var ju en djäkla bösig funktion. Den är extremt brant nära p=0.5 för alla
icke-triviala N. Jag gjorde lite plottar i maple[1] för att försöka
illustrera hur det beter sig.

Först har vi en plot för att illustrera vad som händer vid p=0.5 när man får
från 10 till 10 000 människor (http://i49.tinypic.com/9sbfyh.jpg), och
sedan en där vi går från 10 000 till 10 000 000
(http://i48.tinypic.com/2vjesxx.jpg).
Som förväntat har de samma form, smabt avklingande med ökande N.

För att kunna få en uppfattning om hur den beter sig för olika p så undersökte
jag den för N=3 (http://i48.tinypic.com/ermq8j.jpg), plus en liten
illustration för N=100 (http://i46.tinypic.com/favipd.jpg), man ser
verkligen hur brant den är.

För att ändå försöka få någon sorts uppfattning om hur det ser ut för mer
realistiska N så gjorde jag en 3d-plot mellan en miljon och 10 miljoner
(http://i49.tinypic.com/2h5qh6d.jpg). Men där fick jag begränsa mig till
intervallet p=0.499..0.5, utanför det så är Q(p,N) i praktiken noll även nu
så är höjdskalan (dvs funktionen) i tiotusendelar.

Som ett exempel på Qs orimlighet så kan jag nämna att Q(1000 000,0.49) är
ungefär 10^-177.

Ifall du är sugen på att själv leka med funktionen så kan wolfram alpha
hjälpa dig. Gå till wolframalpha.com och ge
"2^(2*N) * p^N * (1-p)^N / ((pi*N)^(1/2)), N=7000000, p=0.5" som input så ger
den dig svaret, man kan ju leka lite med att variera parametrar om man vill -
den vägrade dock ge mig grafer.

[1] Ett betydligt vanligare och mer människovänligt program än magma för
övrigt, magma är mest bra ifall man råkas hålla på med just algebror. Ifall
man känner sig sugen på mer kompetenta system så är det väl antingen maple
eller mathematica man vill ha idag.
@Viktor: Tack igen för en strålande kommentar!
Viktor sa…
En liten tanke för det tänkta fallet p=0.5 så är formeln faktiskt fullt lösbar analytisk :) Och ger då Q ≈ 0.000213...

Lösning för den intresserade

Q := 2^(2*N) * p^N * (1-p)^N / ((pi*N)^(1/2)) => [p = 0,5]=>
Q := 2^(2*N) * 0.5^N * (1-0.5)^N / ((pi*N)^(1/2)) = vilket vi kan skriva som Q := 2^(2*N) * 0.5^(2*N)/ ((pi*N)^(1/2)) eftersom 0,5 = 1/2 kan vi igen skriva formeln som Q := 2^(2*N) * (1/2)^(2*N)/ ((pi*N)^(1/2)) nå 1^2N är alltid 1 så Q := 2^(2*N) *(1/(2^2*N))/ ((pi*N)^(1/2)) eller med andra ord Q := (2^(2*N))/(2^(2*N))/ ((pi*N)^(1/2)) tar vi bort det som är lika får vi fram att sannolikheten då p = 0.5 är 1/ ((pi*N)^(1/2)) vist var det vackert?
@Viktor: Det var precis den förenklade formeln jag använde i mitt första exempel! Bra gjort att lösa ut den!